எண்ணும் எழுத்தும் – 4

முகிலன், அமரன், பல்லவி, அனுராதா மற்றும் சரண்யா ஐந்து பேரும் முகிலனின் வீட்டில் வழக்கம் போல் விளையாடிக் கொண்டிருந்தார்கள்.

“அமரா, ஆண்ட்டி போன வாட்டி பூச்சியை வச்சு ஒரு புதிர் சொன்னாங்களே? உங்களில யாருக்காவது விடை தெரிஞ்சுதா? எனக்குத் தெரியவேயில்லை. ரொம்ப நேரம் முயற்சி செஞ்சு பாத்தேன்” என்று பல்லவி கேட்க, எல்லோருமே தெரியவில்லை என்று உதட்டைப் பிதுக்கினார்கள்.

“நோ வொர்ரீஸ்! இதோ அம்மாவே வந்து நமக்குச் சொல்லித் தருவாங்க. அதுவரைக்கும் பொறுமையாக் காத்துக்கிட்டே இருப்போம்” என்று சொல்லி விட்டு, வேறு விஷயங்களைப் பேசிக் கொண்டிருந்தார்கள்.

சிறிது நேரத்தில் சகுந்தலாவே வந்து விட்டாள்.

“ஸாரி குழந்தைகளா, வேலையை முடிக்க நேரமாயிடுச்சு. அந்தப் புதிருக்கு விடை உங்களுக்குத் தெரிஞ்சிருக்காது. கஷ்டம் தான். இன்னைக்கு அந்தப் பெருக்குத் தொடரிலேயே இன்னொரு புது விஷயம் கத்துத் தரேன். அதை வச்சு நீங்க புதிரை ஸால்வ் பண்ணிடலாம். கவனமாக் கேளுங்க.

பெருக்குத் தொடர் பத்திப் போன தடவை நாம மீட் பண்ணினபோது சொல்லிக் கொடுத்தேன். அதில ஒரு முக்கியமான விஷயம் கவனிச்சிருப்பீங்க.”

“பெருக்குத் தொடருக்குச் சில எடுத்துக்காட்டு யாராவது சொல்லுங்க”.

1,2,4,8,16,32,64……………..

3,9,27,81,243,………………

“கரெக்ட். வெரி குட். இதிலே அடுத்தடுத்து வர எண்கள் கூடிட்டே போகுது இல்லையா? அதைத்தான் நாம , மக்கள் தொகை பத்தின விஷயத்திலயும் பாத்தோம் இல்லையா?”

“ஆமாம் ஆண்ட்டி”

“சாதாரணமாகக் கூடிக்கிட்டே அதாவது பெருகிக்கிட்டே போற இந்தத் தொடர், குறைஞ்சுக்கிட்டேயும் போகலாம். அதாவது குறுகிக்கிட்டேயும் போகலாம். இல்லையா?”

“அது எப்படி ஆண்ட்டி முடியும்? பொது விகிதத்தால (common ratio) பெருக்கும் (multiply) போது மதிப்பு கூடிக்கிட்டே தானே போகும்? அந்தக் கதை ஒண்ணு சொன்னீங்களே? அதில செஸ் போர்ட்ல வைச்சு தானியங்கள் எப்படி பன்மடங்காப் பெருகுச்சு?”

“கரெக்ட். அது ஏன்னா நாம எடுத்துக்கற பொது விகிதம் ஒன்றை விடப் பெரிசா இருக்கும் போது அப்படி ஆகும். இது வரைக்கும் நீங்க பாத்த எடுத்துக்காட்டுகள் எல்லாத்திலயும் 2,3,4

அப்படின்னு  பெருக்கு விகிதத்தை (common ratio), ஒன்றை விடப் பெரிய எண்ணா எடுத்துக்கிட்டோம் இல்லையா? அதுனால தான் உங்களுக்கு அப்படித் தோணுச்சு.

ஆனா, அந்தப் பொது விகிதத்தை ஒன்றை விடச் சின்னதாக, ஒரு பின்னமாக அதுவும் பாசிடிவ் பின்னமாக எடுத்துட்டுப் பாக்கலாமா?

நான் அடுத்த எடுத்துக்காட்டில முதல் எண் இரண்டு, பொது விகிதம் அரை, ½ அப்படின்னு எடுத்துக்கறேன். அப்ப அந்தத் தொடர் என்ன ஆகும்?

2,1, ½, ¼, ⅛,.  …………

இப்படித் தானே போகும்?” என்று சொல்லி சகுந்தலா நிறுத்தினாள்.

உடனே சரண்யா குதித்தாள்.

“ஆண்ட்டி, அப்படின்னா நீங்க நேத்து சொன்ன அந்தப் புதிரில, அது தான் அந்தப் பூச்சி சுவத்தில ஏறுமே அதில இந்த மாதிரி தானே வரும்?”

“கரெக்ட். வெரி குட். சரியான பாயிண்டைப் பிடிச்சுட்டயே சரண்யா? அதே தான் அந்தப் புதிரில் பூச்சி,

முதல் நிமிடத்தில் ஒரு அடி ஏறும்.

அடுத்த நிமிடம் அதில் பாதி, அதாவது

 ½  அடி,

அதற்கும் அடுத்த நிமிடம் அதிலும் பாதி அதாவது ¼ அடி.

இப்படியே போகும் இல்லையா? இந்த மாதிரி மதிப்பு குறைந்து கொண்டே போகும் பெருக்குத் தொடர்களில் அதாவது ஜியாமெட்ரிக் ப்ரொக்ரஷனில் அடுத்தடுத்து வரும் எண்களைக் கூட்டவும் ஒரு சூத்திரம் இருக்கிறது. அதாவது முடிவிலாமல் தொடரும் எண்களுக்கு.

(Infinite geometric progression). அது என்னவென்றால் கூட்டுத் தொகை

Sum= a÷ 1-r

a/1-r என்பது. இதில்,

a என்பது முதல் எண்.

r என்பது பெருக்கு விகிதம்.

இந்தப் புதிரில் நாம் கூட்ட வேண்டியது

1+ ½+¼+⅛+1/16+…………… இப்படியே போகும். முடிவிலா இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகை

1/1-½= 1/(½)=2.

1÷ 1-½= 1÷1/2= 2.

இதிலிருந்து என்ன புரிகிறது? முடிவிலாமல் தொடரும் போது தான் அந்தப் பூச்சி இரண்டு அடிகளைக் கடந்திருக்கும். அதாவது அந்தப் பூச்சியால் கணக்கில்லாத நிமிடங்கள் முயற்சி செய்தாலும் இரண்டு அடிகளைக் கடக்கவே முடியாது. இது தான் விடை” என்று சொல்லி முடித்தாள்.

“கொஞ்சம் புரிஞ்சுக்கக் கஷ்டமா இருக்கு. ஆனாலும் நீங்க சொன்ன விடை புரிஞ்சிடுச்சு” என்றாள் சரண்யா.

“பெரிய வகுப்புகளுக்குப் போகும் போது நல்லாப் புரியும். கவலைப்படாதீங்க” என்று சொல்லி விட்டு, சகுந்தலா குளந்தைகளுக்குத் தின்பண்டங்களைக் கொடுத்தாள்.

“சரி, இன்னும் கொஞ்சம் விஷயங்களைச் சொல்லிட்டுப் போறேன். போன தடவை கஷ்டமான கேள்வி கேட்டதுனால, இந்தத் தடவை எளிதான கேள்வி.

ஒரு பாக்டீரியா ஒரு நாளில இரண்டு மடங்காப் பெருகும். ஒரே ஒரு பாக்டீரியாவை ஒரு கண்ணாடி பாட்டிலில் போட்டு மூடி வச்சிருந்தாங்க. பத்தாவது நாளில் பாட்டில் முழுசா  நிறைஞ்சு போச்சு. அப்படின்னா, எப்ப அந்த பாட்டிலில் பாதி நிறைந்திருக்கும்?”

என்றாள் சகுந்தலா சிரித்துக் கொண்டே.

“ஆண்ட்டி, ஒன்பதாவது நாளில். அப்பத் தானே அடுத்த நாள் டபுளாகும் போது பாட்டில் நிறையும்” என்றான் அமரன் பளீரென்று.

“கரெக்ட், வெரிகுட். வேகமா பதில் சொன்னதுக்கும் சேத்துப் பாராட்டுகள்” என்றாள் சகுந்தலா. எல்லோரும் சேர்ந்து கைதட்டினார்கள்.

“ஒரு சின்னக் கதை சொல்லறேன் இப்ப. ஒருத்தன் கிட்ட 17 ஆப்பிள் பழங்கள் இருக்கு. அதை மூணு பேருக்குள்ள பிரிக்கணும். முதலாமவனுக்குப் பாதி, அடுத்தவனுக்கு மூன்றில் ஒரு பங்கு, மூன்றாமவனுக்கு ஒன்பதில் ஒரு பங்கு. முடியவே முடியாதுன்னு தோணுதா?

அப்ப என்ன செய்யறதுன்னு தெரியாம அவன் முழிச்சானாம். அப்ப அங்கே தெனாலிராமன் வந்தாராம். பிரச்சினை என்னன்னு கேட்டவர், ” இவ்வளவு தானா? நான் இதை எளிதா முடிச்சு வைக்கறேன்” அப்படின்னு சொன்னாராம்.

தன் கையில் இருந்த ஒரே ஒரு ஆப்பிளைச் சேத்தாராம்.  இப்ப மொத்தம் 18 ஆப்பிள்கள் இருந்தன. அதில் பாதி 9 ஒருவனுக்கு, அடுத்து மூன்றில் ஒரு பங்கு 6 அடுத்தவனுக்கு, அடுத்து ஒன்பதில் ஒரு பங்கு 2 மூன்றாவனுக்கு எடுத்துக் கொடுத்தாராம்.

இப்ப என்ன ஆகும்?

      9 + 6 + 2 = 17.

கொடுத்தது போக மிச்சம் ஒண்ணு இருந்ததா? முதலில் சேத்த அந்த தன்னோட ஆப்பிளை தெனாலிராமனே  எடுத்துக்கிட்டாராம்”  என்றாள் சகுந்தலா.

“வாவ், புத்திசாலித்தனமா வேலையை முடிச்சாச்சு. ஆப்பிள்களையும் பகிர்ந்தாச்சு. இப்ப எங்களுக்கும்  ஆப்பிள் வேணும்” என்று ஐந்து பேரும் உற்சாகத்துடன் குதித்தார்கள். சகுந்தலா குளிர்பதனப் பெட்டியில் இருந்து ஆப்பிள்களைக் கொண்டு வந்தாள்.

ஜில்லென்ற ஆப்பிள்களை  மடமடவென்று உள்ளே தள்ளினார்கள்.

-தொடரும்

புவனா சந்திரசேகரன்

வங்கி வேலை, கணித ஆசிரியை அவதாரங்களுக்குப் பிறகு இப்போது எழுத்தாளர். அதுவும் சிறுவர் கதைகள் எழுத மனதிற்குப் பிடிக்கிறது. மாயாஜாலங்கள், மந்திரவாதி கதைகள் எழுத ஆசை. பூஞ்சிட்டு இதழ் மூலமாக உங்களுடன் உரையாடத் தொடர்ந்து வரப் போகிறேன். மகிழ்ச்சியுடன் நன்றி.