எண்ணும் எழுத்தும் – 2

“சகுந்தலா ஆண்ட்டி, கதை கேக்க நாங்க எல்லாரும் வந்தாச்சு. கதை சொல்றீங்களா?” என்று கேட்டுக் கொண்டே உள்ளே நுழைந்தார்கள்

அந்தக் குழந்தைகள்.

பல்லவி, சரண்யா, அனுராதா மூன்று பேரும் முகிலனின் வீட்டுக்குள் நுழைந்தார்கள். சகுந்தலா சமையலறையில் இருந்து வெளியே வந்தாள்.

ஒரு தட்டில் இளம் நுங்குகளைப் போட்டு எடுத்துக் கொண்டு வந்தாள்.

“அட நுங்கா? எனக்கு ரொம்ப ரொம்பப் பிடிக்கும்” என்று சரண்யா வேகமாக எடுத்தாள்.

“சாப்பிடுங்க. வெயிலுக்கு ரொம்ப நல்லது. உடலுக்குக் குளிர்ச்சி தரும். அமரனும் வரட்டும். அவனும் வந்ததும் கதையைச் சொல்றேன்” என்று சகுந்தலா சொல்லி விட்டுப் போனதும் தட்டில் இருந்த நுங்குகளை எடுத்துச் சுவைக்க ஆரம்பித்தார்கள் குழந்தைகள்.

அமரன் வேக வேகமாக உள்ளே நுழைந்தான்.

“அம்மா, அமரன் வந்தாச்சு. இன்னும் கொஞ்சம் நுங்கு எடுத்துட்டு வாங்க. கதை கேட்க நாங்க எல்லாரும் ரெடியா இருக்கோம்” என்று முகிலன் குரல் கொடுக்க, சகுந்தலா நுங்குகளை எடுத்துக் கொண்டு வந்தாள்.

“என்ன அமரா, ஏன் இன்னைக்கு லேட்டா வந்தே? வீட்டில வேலை இருந்ததா?” என்று சகுந்தலா கேட்க,

“அதுவா ஆண்ட்டி, எங்க அப்பாவோட செஸ் விளையாடிட்டு இருந்தேன். ரொம்ப சுவாரசியமா இருந்ததில, நேரம் போனதே தெரியலை” என்றான் அமரன்.

“நீ விளையாட்டில் ஜெயிச்சயா? இல்லையா?” என்று கேட்க, “நான் தோத்துட்டேன். அப்பா தான் ஜெயிச்சாரு” என்றான் அமரன் வருத்தத்துடன்.

“கவலையே படாதே. தொடர்ந்து விளையாடும் போது அப்பா விளையாடுவதை ஊன்றி கவனி. செஸ் விளையாட்டில் ஜெயிக்க நல்ல அறிவுத்திறன், ஆழ்ந்த கவனம், சிறப்பான திட்டமிடுதல், தொடர் பயிற்சி எல்லோமே தேவை. பொதுவாக அனைத்து விளையாட்டுகளுக்கும் இவை தேவை என்றாலும் செஸ் விளையாட்டைத் தொடர்ந்து விளையாடுவதால் மூளைக்கு நல்ல பயிற்சி கிடைக்கும். இன்றைய கதை இந்த செஸ் அதாவது சதுரங்க விளையாட்டைப் பற்றியது தான். இந்த விளையாட்டு அட்டை அதாவது செஸ் போர்டை எல்லோரும் பார்த்திருக்கீங்களா?” என்று கேட்டாள் சகுந்தலா.

“பாத்திருக்கோமே! கறுப்பும் வெள்ளையும் மாறி மாறி சதுர வடிவில் கட்டங்கள் இருக்கும்” என்றார்கள் குழந்தைகள்.

“சரி, மொத்தம் எத்தனை கட்டங்கள் இருக்கும்?” என்று கேட்டாள்.

“அது வந்து, எட்டு, எட்டுக் கட்டங்களாக எட்டு வரிசைகள். அப்படின்னா 8×8=64 , ஆமாம் , 64 கட்டங்கள்” என்றாள் பல்லவி.

“கரெக்ட். சரியான விடை. இப்ப இந்தத் தகவலை மனசில வச்சுக்கிட்டு நான் சொல்லப் போற கதையைக் கேளுங்க” என்று சொல்லி விட்டுக் கதையை ஆரம்பித்தாள் சகுந்தலா.

“உங்களுக்கெல்லாம் தெரியுமா? இந்த சதுரங்க விளையாட்டு முதன்முதலில் இந்தியாவில் தான் கண்டுபிடிக்கப் பட்டது. முந்தைய காலத்தில் இந்தியாவில் இருந்து பெர்ஷியாவிற்குப் போய் அங்கிருந்து மற்ற நாடுகளுக்குப் பரவியது. இன்று ஈரான் என்று அழைக்கப்படும் நாடு தான் அந்தக் காலத்தில் பெர்ஷியா என்று அழைக்கப் பட்டது.

சதுரங்கத்தைக் கண்டுபிடித்த அறிஞருக்கு, அன்றைய சக்கரவர்த்தி பரிசு தர ஆசைப்பட்டு, ‘என்ன பரிசு வேண்டும்?’ என்று கேட்டார். அறிஞரும் கோதுமை( அரிசி) தானியங்கள் பரிசாக வேண்டும் என்று சொல்ல அங்கிருந்தவர்கள் கேலியாக சிரித்தார்கள்.

‘தானியங்கள் போதுமா?’ என்று மீண்டும் அரசர் கேட்க, அந்த அறிஞர் போதும் என்று சொன்னார். ஒரு மூட்டை தானியங்கள் கொண்டு வரப்பட்டன.

‘ஆனால் இந்த தானியங்களை நான் சொல்லும் முறைப்படி தாருங்கள். சதுரங்கத்தின் முதல் கட்டத்தில் ஒரு தானியம், இரண்டாம் கட்டத்தில் இரண்டு, மூன்றாம் கட்டத்தில் 4, நான்காம் கட்டத்தில் என்று வைக்க வேண்டும். அதாவது ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் இருக்கும் தானியங்களின் எண்ணிக்கையைப் போல் இரண்டு மடங்கு அடுத்த கட்டத்தில் வைக்க வேண்டும்’ என்று சொல்ல, ‘இது என்ன பிரமாதம்?’ ன்னு அங்கே இருந்தவங்க சிரிச்சுக்கிட்டே தானியங்களை வைக்க ஆரம்பிச்சாங்க‌. போகப் போகத் தான் அந்த அறிஞர் எவ்வளவு புத்திசாலி அப்படிங்கறது அவங்களுக்கெல்லாம் புரிஞ்சுது. உங்களுக்குப் புரியுதா?” என்று சகுந்தலா கேட்கக் குழந்தைகள், ” இல்லை ஆண்ட்டி. புரியலை” என்று குழந்தைகள் உதட்டைப் பிதுக்கினார்கள்.

“இங்கே பாருங்க, இந்த தானியங்களின் எண்ணிக்கை இந்த மாதிரி கூடிக்கிட்டே போகும்.

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,

4096,8192,16384 இந்த மாதிரி. பதினைஞ்சாவது கட்டத்தில் ஐந்து இலக்க எண்ணாயிடுச்சு பாத்தீங்களா? இப்பப் புரியுதா? போகப் போக எவ்வளவு விரைவாக அந்த எண்கள் எத்தனை மடங்காப் பெருகுதுன்னு? ” என்று சுட்டிக் காட்டக் குழந்தைகள் ஆவென்று வியப்போடு பார்த்தார்கள்.

“அறுபத்து நான்காவது கட்டத்தில் எவ்வளவு இருக்கும் தெரியுமா?

9,223,372,036,854,775,808 தானியங்கள்.

இவற்றை மொத்தமாகக் கூட்டினால் அதாவது,

1+2+4+8+16+32+………….

என்று 64 கட்டங்களிலும் வைக்கப்பட்ட தானியங்களைக் கூட்டினால், மொத்தம்

18,446,744,073,709,551,615 தானியங்கள் இருக்கும். இவற்றின் எடை கிட்டத்தட்ட 1,199,000,000,000 மெட்ரிக் டன்கள்.

அந்தப் பேரரசர் தனது தோல்வியை அறிஞரிடம் ஒப்புக்கொண்டு தனது ராஜ்யத்தையே அவருக்கு சன்மானமாக அளிக்க, அந்த அறிஞர் பெருந்தன்மையுடன் மறுத்து விட்டு, சன்மானமாகத் தங்கக் காசுகளைப் பெற்றுக் கொண்டு விடை பெற்றார். அறிஞரை கேலி செய்தவர்கள் தலை குனிந்தார்கள்” என்று கதையை முடித்தாள்.

“இதை எப்படித் தொடர்ந்து கணக்கிடுவது? இதுக்கு ஏதாவது வழி இருக்கா ஆண்ட்டி?” என்று அனுராதா கேட்டாள்.

“இருக்கும்மா. அந்த எண்களின் தொடர்ச்சியைத் தான்,

            ‘பெருக்குத் தொடர் ‘

 என்று சொல்கிறோம். ஆங்கிலத்தில்,

           ‘ geometric progression’

என்று சொல்கிறோம்.

சிலர் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றும் சொல்வார்கள். இதில் கணக்கிடுவதற்கு முதல் எண், மற்றும் பெருக்கல் விகிதம் இரண்டும் அவசியம்.

நாம் பார்த்த இந்த தானியக் கதையில்,

1 தான் முதல் எண். First term

2 தான் பெருக்கல் விகிதம் அதாவது common ratio.

முதலில் வருவது 1

இரண்டாவது- 1×2=2

மூன்றாவது- 1×2×2=4

இப்படியே போகும்.

முதல் எண்ணை, ‘a’ என்றும்,  பொது விகிதத்தை ‘r’ என்றும் வைத்துக் கொண்டால், ‘n’ என்ற இடத்தில் வரும் எண்ணை,

a×r^n-1

என்ற சூத்திரத்தை வைத்துக் கண்டுபிடிக்கலாம். அதாவது a என்ற எண்ணையும், r என்ற பொதுவிகிதத்தை n-1முறை மீண்டும் மீண்டும் பெருக்கி வரும் தொகையோடு மீண்டும் பெருக்க வேண்டும்.

இப்போது எடுத்துக்காட்டாக மேலே சொன்ன தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இதில் a=1,r=2, n=5 என்று எடுத்துக் கொள்வோம். அதாவது ஐந்தாம் இடத்தில் வரும் எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க சூத்திரத்தை உபயோகித்துப் பார்க்கலாம்.

ஐந்தாவது இடத்தில் வரும் எண் சூத்திரத்தின் படி,

1×2^(5-1)= 1×2^4= 1× 16=16.

மேலே இருக்கும் தொடரைப் பாருங்கள். 16 இருக்கிறதா? இதுவே போகப் போகக் கடினமாகி விடும்.

மற்றொரு தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம்.

2,6,18,54,162,……. என்று தொடர்கிறது இல்லையா?

இதில்,

a=2, r= 3 இல்லையா? நான்காவது எண் கண்டுபிடிக்க ,n என்பதை 4 என்று எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். ‘r’ ஐக் கண்டுபிடிக்க,  எந்த எண்ணையும் முன்னால் வரும் எண்ணால் வகுக்க வேண்டும். முதல் எண்ணும் பொது விகிதமும் சூன்யம் அதாவது ஜீரோவாக இருக்கக் கூடாது. ஜீரோ அல்லாத எண்களாக இருக்க வேண்டும்.

2×3^(4-1)=2×3^3=2×27= 54

மேலே பாருங்கள். சரியாக இருக்கிறதா?

இது போன்று எளிதான தொடர்களை வைத்துக் கணக்கிட்டுப் பாருங்கள். ரொம்ப சுவாரஸ்யமா இருக்கும்.

வேறு சில எடுத்துக்காட்டுகள்,

1,3,9,27,54,81, ………..,

4,16,64,256……………..,

2,10,50,250,1250,…………..

இந்தப் பெருக்குத் தொடரை வைத்து சில புதிர்களை அடுத்த முறை சொல்லட்டுமா? இன்னைக்கு இவ்வளவு போதும்” என்று முடித்தாள் சகுந்தலா.

( அடுத்த பகுதியில் சந்திப்போம்).

கணிதத்தை நேசிக்கும் எழுத்தாளரான நான் கணிதத்தை எளிய முறையில் குழந்தைகளுக்கு அறிமுகம் செய்ய இந்தத் தொடரை ஆரம்பித்திருக்கிறேன். உங்கள் கருத்துக்களை வரவேற்கிறேன். நன்றி.

இப்படித்தான் இருக்க வேண்டும் என்ற எந்தக் கட்டுப்பாடும் இல்லாமல் கதைகள், புதிர்கள், விளையாட்டுகளின் கலவையாக இந்தத் தொடர் தொடரும்.

புவனா சந்திரசேகரன்

வங்கி வேலை, கணித ஆசிரியை அவதாரங்களுக்குப் பிறகு இப்போது எழுத்தாளர். அதுவும் சிறுவர் கதைகள் எழுத மனதிற்குப் பிடிக்கிறது. மாயாஜாலங்கள், மந்திரவாதி கதைகள் எழுத ஆசை. பூஞ்சிட்டு இதழ் மூலமாக உங்களுடன் உரையாடத் தொடர்ந்து வரப் போகிறேன். மகிழ்ச்சியுடன் நன்றி.