எண்ணும் எழுத்தும் – 7

பள்ளி திறந்து விட்டதால் நண்பர்களின் அரட்டை நேரமும் விளையாட்டு நேரமும் கணிசமாகக் குறைந்து போயின. இருந்தாலும் ஐவர் கூட்டணி சகுந்தலா ஆன்ட்டியுடன் கணிதம் பற்றிப் பேசித் தெரிந்து கொள்ளும் நேரத்தைத் தவற விடுவதில்லை. வாரத்தில் ஒருமுறையாவது வழக்கம் போல சகுந்தலா ஆன்ட்டியைச் சந்திக்க வந்து விடுவார்கள்.

“போன தடவை அல்ஜீப்ரா அதாவது இயற்கணிதம் பத்திச் சொல்லிட்டிருந்தேன். ஞாபகமிருக்கா? ” என்று சகுந்தலா கேட்க, எல்லோரும் சேர்ந்து, “ஓ, நல்லா ஞாபகமிருக்கே? இன்னும் கொஞ்சம் சொல்லுங்க” என்று கூறினார்கள்.

இயற்கணிதத்தைப் பற்றி முதன்முதலில் எழுதப்பட்ட நூல் இந்தியாவில் ஆரியபட்டர் என்ற கணித வல்லுநரால் (5ம் நூற்றாண்டில்) எழுதப்பட்டது. இது பீஜகணிதம் என்று பெயர்கொண்டது.

டயோஃபாண்டஸின் 4வது நூற்றாண்டின் ஆய்வுகளைத் தழுவி 9வது நூற்றாண்டில் ஆல்-க்வாரிஜ்மி என்பவர் Hisab al-dschabr wa-l-muqabala என்ற பாரசீக நூலை எழுதினார். பிற்காலத்தில் 13ம் நூற்றாண்டில் “al-jabr” என்ற தலைப்பைக் கொண்ட அரேபிய நூல் இந்தப் பாரசீக நூலிலிருந்து கண்டெடுக்கப்பட்டது என்று கூறிப் பிரசுரிக்கப்பட்டது. இதன் பெயரை வைத்து இந்தக் கணிதத் துறைக்கு அல்ஜீப்ரா என்ற பெயர் ஏற்பட்டது.

கணிதத்தில் அல்ஜீப்ரா என்ற இயற்கணிதத்தில் எழுதப்பட்ட சூத்திரங்கள் நிறைய ஆய்வுகளுக்கு வழிகாட்டின. பல்வேறு கணிதப் புதிர்களின் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிக்கவும், வழிமுறைகளை எளிதாக்கவும் இந்த சூத்திரங்கள் பெருமளவில் உதவின.

இந்த சூத்திரங்களில் மூன்று முக்கியமானவற்றை இன்று பார்க்கலாம்.

1.(x+y) ^2= (x+y) ( x+y) = x^2+y^2+2xy

2.((x-y) ^2=(x-y)  (x-y) = x^2+y^2-2xy

3.(x+y) (x-y) = x^2-y^2

இவற்றை எப்படி எண் கணிதத்தில் பயன்படுத்துகிறோம் என்று பார்க்கலாமா?

இப்போ 105 த்தின் வர்க்கம் அதாவது ஸ்கொயர் ( square) கண்டுபிடிக்கணும்னு வச்சுக்கலாம். அதை இந்த முதல் சூத்திரத்தை உபயோகிச்சுக் கண்டுபிடிக்கலாமா? எப்படின்னு பாப்போம்.

105^2= (100+5) ^2.

இதில் x= 100

             y= 5

இப்போ சூத்திரப்படி,

105^2= 100^2+5^2+ 2×100×5

          = 10000+25+1000

           =11025.

இதே மாதிரி அடுத்ததாக,

      95^2=(100-5) ^2

              =100^2+5^2- 2×100×5

               =10000+25-1000

               =10025-1000

                =9025

ஓகேயா? இதில் நாம் இரண்டாவது சூத்திரம் உபயோகிச்சிருக்கோம். இப்போ மூணாவது சூத்திரம் பாக்கலாமா?

  105× 95 எவ்வளவுன்னு நாம கண்டுபிடிக்கவும். அதுக்கு மூணாவது சூத்திரத்தை எப்படி பயன்படுத்தறேன்னு பாருங்க.

105×95= (100+5) (100-5)

            = 100^2- 5^2

            = 10000 – 25

            =  9975.

இதே மாதிரி நீங்களும் செஞ்சு பாத்துட்டு அடுத்த தடவை சொல்லறீங்களா குழந்தைகளா? இப்போ அடுத்ததாக ஒரு சின்ன உபாயம் சொல்லித் தரேன். வேத கணித முறை (vedic maths) சொல்லித் தரேன்.

இப்போ 15, 25, 35, 45 இந்த மாதிரி எண்களோட வர்க்கம் அதாவது ஸ்கொயர் கண்டுபிடிக்க ஒரு சுலபமான வழி இருக்கு. எப்படின்னு பாக்கலாமா?

முதலில், 15^2 எடுத்துக்கலாம்.

   5×5=25 . இதைக் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களாக எழுதிட்டு,

  1+1=2.

   2×1=2.

இப்போ, 15×15=225.

குழப்பமா இருக்கா? இன்னொண்ணு பாக்கலாமா?

25^2 எடுத்துக்கலாம்.

        5^2 என்ன, 25 இல்லையா? அதை கடைசி இரண்டு இலக்கங்களாக எழுதிக்கோங்க.

   அடுத்து 2+1=3 இல்லையா?

     3×2=6. இதை 25 க்கு முன்னால் எழுதுங்க. 25^2= 625. இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு சொல்லறேன். பாருங்க.

35^2=?

3+1×3= 12

அப்போ, 35^2= 1225.( 4×3=12).அதே மாதிரி,

    45^2= 2025.

    55^2= 3025.

என்ன இப்போ புரியுதா? முயற்சி செஞ்சு பாருங்க”

என்று சொல்லி முடித்தாள் சகுந்தலா.

“சூப்பர் ஆன்ட்டி!” என்றனர் குழந்தைகள்.

“சரி, நிறையப் புது விஷயங்கள் பாத்தாச்சு. இப்போ விளையாடலாமா கொஞ்சம்?” என்றாள்.

“விளையாடலாமே ஆன்ட்டி?” என்றான் அமரன்.

“ஒரு கிராமத்தில் நண்பர்கள் சேந்து ஒரு தோட்டத்துக்குப் போனாங்க. அங்கே ரெண்டு ஆப்பிள் மரங்கள் இருந்துச்சாம். ஒண்ணு சிவப்பு ஆப்பிள். இன்னொண்ணு பச்சை ஆப்பிள். இரண்டு மரங்களில் இருந்தும் பழங்களைப் பறிச்சாங்களாம். எண்ணிப் பார்த்த போது, ஒவ்வொரு 5 சிவப்பு ஆப்பிள்களுக்கும் 4 பச்சை ஆப்பிள் பழங்கள் இருந்துச்சாம். இரண்டில் இருந்தும் பதினாறு பழங்களைச் சாப்பிட்டதும் விகிதம் மாறிடுச்சாம்.

இப்போ ஒவ்வொரு 3  சிவப்பு ஆப்பிள் பழங்களுக்கும் 2 பச்சை ஆப்பிள்கள் இருக்கு. அப்படின்னா முதலில் இரண்டு வகைகளிலும் எத்தனை ஆப்பிள் பழங்கள் இருந்தன?” என்று கேட்டாள் சகுந்தலா. குழந்தைகள் யோசித்துக் கொண்டிருந்தார்கள். அப்போது சகுந்தலா,

“சரி, நானே இன்னைக்கு இதை அல்ஜீப்ரா வச்சு எப்படி விடை கண்டுபிடிக்கலாம்னு சொல்லறேன்” என்றாள்.

“முதலில் இருந்த சிவப்பு ஆப்பிள்கள் 5x னு எடுத்துப் போய். அதே மாதிரி பச்சை ஆப்பிள்கள் 4x னு வச்சுக்குவோம்.

இப்போ 16, 16 சாப்பிட்டப்புறம், மிச்சம் இருக்கிறது 5x-16, 4x-16.

  5x-16÷4x-16= 3÷2

2×(5x-16) = 3×(4x-16)

10x-32= 12x-48

48-32= 12x-10x

16= 2x

x= 16÷2= 8

அப்படின்னா முதலில் அவங்க கிட்ட 40 (5×8) ரெட் ஆப்பிள்களும், 32 (4×8) க்ரீன் ஆப்பிள்களும் இருந்திருக்கும்.

40-16=24

32-16=16

24÷16=3÷2

நமது விடை சரியா வந்திருச்சா? அடுத்த தடவை இது மாதிரி அல்ஜீப்ரா வச்சு இன்னும் நிறைய புதிர்கள் நாம ஸால்வ் பண்ணலாமா? இப்போ மூளைக்கு வேலை முடிஞ்சது. உடற்பயிற்சிக்கு வேற ஏதாவது செய்யுங்க. ஓடியாடி விளையாடுங்க”  என்று சொல்லி விடை பெற்றாள் சகுந்தலா.

புவனா சந்திரசேகரன்

வங்கி வேலை, கணித ஆசிரியை அவதாரங்களுக்குப் பிறகு இப்போது எழுத்தாளர். அதுவும் சிறுவர் கதைகள் எழுத மனதிற்குப் பிடிக்கிறது. மாயாஜாலங்கள், மந்திரவாதி கதைகள் எழுத ஆசை. பூஞ்சிட்டு இதழ் மூலமாக உங்களுடன் உரையாடத் தொடர்ந்து வரப் போகிறேன். மகிழ்ச்சியுடன் நன்றி.