எண்ணும் எழுத்தும் – 8

அடுத்த வாரத்திலும் ஒரு விடுமுறை நாளில், சகுந்தலா ஆண்ட்டியைச் சந்திக்கக் குழந்தைகள் ஓடி வந்து விட்டார்கள். இப்போதெல்லாம் சகுந்தலாவுடன் கணிதம் பற்றி விவாதிப்பது அவர்களுக்கு மிகவும் பிடித்தமான செயலாகி விட்டது.

“முகிலா, நாளையில் இருந்து தினமும் ஸ்கூலுக்கு நாம் ஜியாமெட்ரி பாக்ஸ் கொண்டு போகணும் இல்லையா? எல்லாரும் ஞாபகமா எடுத்து வச்சுக்கோங்க” என்றாள் சரண்யா.

“சரண்யா, நீ ஆரம்பிச்சதும் நல்லதாப் போச்சு. நானே இன்னைக்கு உங்க கிட்ட வடிவவியல் அதாவது ஜியோமெட்ரி( geometry) பத்தித் தான் பேசணும்னு நினைச்சேன்” என்று சொல்லி விட்டுக் கையில் வைத்திருந்த பாதாம் பருப்பைக் குழந்தைகளுக்கு சாப்பிடக் கொடுத்தாள் சகுந்தலா.

“வடிவவியல் கணிதத்தின் இன்னொரு முக்கியமான பிரிவு. எந்த ஒரு பொருளைப் பார்த்தாலும் அதனோட நீளம், அகலம், உயரம், வடிவம் அப்படின்னு பல்வேறு அளவுகளைப் பற்றிப் பேசறதுனால தான் இந்தப் பேர் இந்தப் பிரிவுக்கு.

யூக்ளிட் ங்கற கணித மேதை தான் முதன்முதலில் அடிப்படையான சில தகவல்களைத் தொகுத்து சில விதிகளை உருவாக்கினார். புள்ளி, கோடு, கோணம், பரப்பு, தளம் போன்ற பல்வேறு அடிப்படை விஷயங்களை எப்படி இருக்கணும்னு வரையறுத்தவர் அவர் தான். இன்னைக்குக் கட்டிடம் கட்டுவதற்கு வரைபடங்கள் போட்டு அளவுகளைத் தீர்மானம் செய்து புதிய பல கட்டிடங்களை வலுவாகவும் உறுதியாகவும் உருவாக்கற அளவுக்கு இந்தக் கணிதப் பிரிவில் தேர்ச்சி பெற்றவர்கள் வளர்ந்து விட்டார்கள்.

இந்தப் பிரிவைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமான தகவல்களை அடுத்த முறை பார்க்கலாம். இப்போ உங்களுக்கு இன்னொரு விஷயம் சொல்லப் போறேன். இல்லை காண்பிக்கப் போறேன். இதோ பாருங்க” என்று சொல்லி ஒரு காகிதத்தில் ஒரு முக்கோணம் போன்ற அமைப்பை எண்களை வைத்து உருவாக்கினாள் சகுந்தலா.

பாஸ்கல் முக்கோணம்

                     Pascal’s triangle

                                 1

                             1     1

                        1       2      1

                     1      3       3     1

                  1     4       6      4     1

               1     5     10    10     5     1

           1      6    15    20    15     6     1

இதை பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று சொல்வார்கள். இதனுடைய சிறப்புகள் என்னன்னு பாக்கலாம்?

1.இரண்டு ஓரங்களிலும் எல்லா இடத்திலும் 1 ஒன்று ங்கற எண் இருக்கிறது.

2. ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முதல் வரிசையில் இருக்கும் இரண்டு எண்களின் கூட்டல் தொகை.

       2= 1+1

       3= 1+2

       4= 1+3

       6= 3+3

இது மாதிரி. புரிகிறதா?

3.ஒவ்வொரு வரிசையிலும் வரும் எண்கள் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தில் ( binomial theorem) வரும் குணகங்கள் ( coefficients)

எடுத்துக்காட்டாக முதல் வரிசையில் இருப்பது 1

  அது (a+b) ^0 என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

அடுத்த வரிசையில் வரும் எண்கள் 1,1

  (a+b) ^1= a+b

மூன்றாம் வரிசையில் வரும் எண்கள் 1,2,1

(a+b) ^2= a^2+2ab+b^2

                 1      2      1

நான்காம் வரிசையில் வரும் எண்கள் 1,3,3,1

(a+b) ^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

                 1        3          3        1

இனி வரும் பெரிய வகுப்புகளில் (a+b) ^4, (a+b) ^5  மட்டுமல்லாமல் (a+b) ^n என்று எந்த எண்ணாக இருந்தாலும் எப்படி விரிவுபடுத்துவது என்பது பற்றித் தெரிந்து கொள்வீர்கள். அது தான் ஈருறுப்புத் தேற்றம். அதாவது binomial theorem.

4.ஒவ்வொரு வரிசையிலும் இருக்கும் எண்களைக் கூட்டிப் பார்ப்போமா?

முதல் வரிசை-  1=2^0

இரண்டாம் வரிசை- 1+1=2=2^1

மூன்றாம் வரிசை- 1+2+1= 4= 2^2

நான்காம் வரிசை- 1+3+3+1=8=2^3

ஐந்தாம் வரிசை- 1+4+6+4+1=16=2^4

ஆறாவது வரிசை- 1+5+10+10+5+1=32=2^5

இப்படியே தொடர்கிறது.

5. இன்னொரு முக்கியமான தகவலை கவனிப்போம்

முதலில் இருப்பது 1=11^0

இரண்டாவது         11=11^1

மூன்றாவது         121=11^2

நான்காவது        1331=11^3

ஐந்தாவது          14641=11^4

6. இந்த முக்கோணத்தின் ஓரத்தில் இருக்கும் இரண்டு வரிசைகளிலும் எப்போதும் 1 மட்டுமே வரும்.

இரண்டாவது குறுக்கு வரிசை- அதாவது மூலை விட்டம்( diagonal) பார்த்தால் 1,2,3,4,5,6 என்று எண்கள் வரிசையாக வருகின்றன இல்லையா?

இது போன்ற பல அற்புதமான விஷயங்கள் கணிதத்தில் கொட்டிக் கிடக்கின்றன” என்று சகுந்தலா இன்னொரு புதிய தகவலை அழகாகக் குழந்தைகளின் மனங்களில் பதிய வைத்து விட்டாள்.

“சரி, இப்போது நம்பர் வச்சு விளையாடலாமா?

அமரா, ஏதாவது ஒரு நம்பரை ஒரு பேப்பரில் எழுது.

இப்போ அதை இரண்டால் பெருக்கு.

அதில் ஒன்றைக் கூட்டு.

ஐந்தால பெருக்கு.

அதில் 5 ஐக் கூட்டு

இப்போது விடையைப் பத்தால  பெருக்கு.

100 ஐ இதில இருந்து கழி.

என்ன வருதுன்னு  சொல்லு” என்றாள்.

அவன் 1700 என்று சொல்ல, “நீ நினைத்த எண் 17 தானே? ” என்று சொன்னாள்.

“ஆமா! எப்படி?” என்று அமரா ஆச்சரியப்பட்டாள்.

“எப்படி வந்ததென்று பார்க்கலாமா?

17×2=34

34+1= 35

35×5=175

175+5=180

180×10=1800

1800-100=1700.

கடைசி இரண்டு எண்களை விட்டுவிட்டால் மீதி இருக்கும் முதல் இரண்டு எண்கள் தான் நாம் நினைத்த எண்.

எப்படின்னு புரியுதா? செய்து பார்த்துட்டு சொல்லுங்க”

புவனா சந்திரசேகரன்

வங்கி வேலை, கணித ஆசிரியை அவதாரங்களுக்குப் பிறகு இப்போது எழுத்தாளர். அதுவும் சிறுவர் கதைகள் எழுத மனதிற்குப் பிடிக்கிறது. மாயாஜாலங்கள், மந்திரவாதி கதைகள் எழுத ஆசை. பூஞ்சிட்டு இதழ் மூலமாக உங்களுடன் உரையாடத் தொடர்ந்து வரப் போகிறேன். மகிழ்ச்சியுடன் நன்றி.