எண்ணும் எழுத்தும் – 9

சகுந்தலா ஆன்ட்டி வீட்டிற்குள் உற்சாகத்துடன் நுழைந்தார்கள் குழந்தைகள் அனைவரும்.

“வாங்க பசங்களா? ஸ்கூல் திறந்ததும் பிஸியாகிட்டீங்களா? நிறைய ஹோம் வொர்க் கிடைக்குதா?”, என்று கேட்டாள்.

“ஆமாம் ஆன்ட்டி, ஆனால் ஃப்ரெண்ட்ஸ் எல்லாரையும் பாத்ததில சந்தோஷம் தான்!  ஆன் லைன் கிளாஸ் கொஞ்சம் போரடிக்க ஆரம்பிச்சிருந்தது. இப்போ ஸ்கூலுக்கு நேரில் போறது, எங்க டீச்சர்களைப் பாக்கறது எல்லாமே நல்லாத்தான் இருக்கு”, என்றாள் பல்லவி.

“அது சரி. ஆனாலும் கொஞ்சம் கவனமாகவே இருங்க. ஓகேயா? சமூக இடைவெளி, அப்புறம் முகக் கவசம் போட்டுக்கறது எல்லாம் விடாமல் கடைப்பிடிக்கணும்”, என்று சொன்னதும், குழந்தைகள் எல்லோரும் சரியென்று தலையாட்டினார்கள்.

“வடிவியல் பத்திப் போன தடவை பாத்தோம் இல்லையா? இந்தத் தடவை இன்னும் கொஞ்சம் பாக்கலாம்”, என்று சகுந்தலா சொன்னதும், அவர்களும் ஆர்வத்துடன் கேட்க ஆரம்பித்தார்கள்.

“வடிவியல் (Geometry) எதுக்காகப் படிக்கணும், ஆன்ட்டி? அதுனால என்ன பிரயோசனம்?”, என்று கேட்டான் அமரன்.

“போன தடவையே நான் சொன்னேன் இல்லையா? ஒரு பொருளின் பரிமாணங்களை அதாவது அளவுகளைப் பற்றிப் பேசறது தான் ஜியாமெட்ரி”.

புள்ளி தான் வடிவியலின் மிகச் சிறிய அளவு.

அடுத்ததாக இரண்டு பக்கங்களிலும் எல்லையில்லாமல் நேராகச் செல்வது நேர்கோடு. அல்லது அகலமில்லாத நீளம் என்றும் சொல்லலாம். அதே போலக் கோணம் என்பது இரண்டு கோடுகளுக்கு நடுவில் உருவாகும் ஓர் அளவு. ஒரு கோட்டின் மீது இன்னொரு கோடு எவ்வளவு சாய்ந்திருக்கிறது என்று துல்லியமாக அளந்து சொல்லும் ஓர் அளவு என்றும் சொல்லலாம்.

புள்ளி, கோடு, கோணம், சமதளப் பரப்பு (Plane), முக்கோணம், நாற்கோணம், சதுரம், செவ்வகம், சாய்சதுரம் (Rhombus), இணைகரம் (Parallelogram), வட்டம், பலகோண உருவம் (Polygon) இவை எல்லாமே 2டி, 2D, வடிவியலில் பேசப்படும் பல்வேறு சொற்கள், வடிவங்கள்.

இவற்றில் பொதுவாக நீளம், அகலம், கோடுகள், வளைவுகள், கோணங்கள், புள்ளிகள் இவற்றை வைத்து வடிவங்களும் அவற்றின் பண்புகளும் வரையறுக்கப் படுகின்றன.

இதே போல 3டி, 3D வடிவியலில்

கன சதுரம் (Cube)

கன செவ்வகம் (Cuboid)

கூம்பு (Cone)

உருளை (Cylinder)

கோளம் (Sphere) போன்ற வடிவங்கள் பேசப் படுகின்றன. இவற்றில் நீளம், அகலம், உயரம் மூன்றும் பேசப் படுவதால் தான் இவற்றை நாம் 3 டி வடிவங்கள் என்று கூறுகிறோம்.

இந்த வடிவியலில் அதாவது ஜியாமெட்ரியில் முதன்முதலாகக் கோட்பாடுகளைத் தொகுத்து வழங்கிய கணித மேதை யூக்ளிடைத் தான் வடிவியலின் தந்தை என்று அழைக்கிறார்கள். யூக்ளிடியன் ஜியாமெட்ரி என்று கூட வடிவியலின் முக்கியமான ஒரு பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது.

“அடுத்து இதுனால என்ன பிரயோசனம், எதுக்குப் படிக்கணும்னு அமரன் கேட்டான் இல்லையா? அதற்கான பதிலைப் பாக்கலாமா?”.

கட்டிடக்கலை வல்லுநர்களுக்கு மிகவும் அவசியமானது ஜியாமெட்ரி அறிவு. பெரிய பெரிய கட்டிடங்கள், கலை அரங்கங்கள், பாலங்கள், கப்பல், விமானங்கள் போன்றவற்றை வடிவமைப்பது, அவற்றை இயக்குவது போன்ற எல்லா விஷயங்களிலும் வடிவியல் அறிவு கண்டிப்பாகத் தேவை”, என்று வடிவியல் பற்றி நிறைய விஷயங்களைச் சொல்லி முடித்தாள் சகுந்தலா.

“நிறைய அறிவு சார்ந்த தகவல்களை உங்களுக்குச் சொல்லிட்டேன். இனிமே கொஞ்சம் விளையாடலாமா? கொஞ்சம் புதிர்கள், கொஞ்சம் வினோதமான விஷயங்களைப் பாக்கலாமா?”.

முதலில் perfect number அதாவது முழுமையான எண், செவ்விய எண் அப்படின்னா என்னன்னு பாக்கலாமா?

ஒரு நேர்மறை முழு எண் அதாவது பாசிடிவ் இன்டிஜர் (positive integer) எப்பொழுது பெர்ஃபெக்ட் நம்பராக அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது என்றால் அதனுடைய காரணிகளின் (divisors) கூட்டுத்தொகை அதே எண்ணாக வரவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக மிகச்சிறிய பெர்ஃபெக்ட் நம்பர் 6.

6 இன் காரணிகள் 1,2,3 மற்றும் 6. இவற்றில் அதே எண்ணை மட்டும் தவிர்க்க வேண்டும். மீதமுள்ள காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை 6 வரவேண்டும்.

1+2+3= 6.

6 க்கு அடுத்த பெர்ஃபெக்ட் நம்பர் 28.

28 இன் காரணிகள் (divisors) 1,2,4,7,14 மற்றும் 28.

1+2+4+7+14= 28.

28ஐ அடுத்த இன்னொரு பெர்ஃபெக்ட் நம்பர் 496. ஆச்சரியமாக இருக்கிறதா? நடுவில் வேறு பெர்ஃபெக்ட் எண் கிடையாது.

அதற்கும் அடுத்தது 8128.

அடுத்த சுவாரஸ்யமான எண் 1729. இதைப் பற்றி ஒரு கதை இருக்கிறது. இது டாக்ஸி கேப் எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த எண்ணின் சிறப்பு என்னவென்றால், இரண்டு நேர்மறை அதாவது பாசிட்டிவ் கனசதுரங்களின் (cube) கூட்டுத் தொகையாக எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய எண் இது.

1729

1^3+ 12^3= 1729

10^3+ 9^3= 1729

இங்கு பாசிட்டிவ் எண் என்று சொல்வதன் காரணம் 91 என்ற எண்ணையும் இரண்டு க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். ஆனால் அதில் ஒன்றில் எதிர்மறை எண்ணுடன் ஒரு நெகட்டிவ் எண் வந்து விடுகிறது.

91= 3^3+4^3= 27+64

91= 6^3+ (-5) ^3= 216-125

அதனால் தான் நேர்மறை என்ற சொல் அவசியமாகிறது. இன்னொரு சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால்

1+7+2+9=19.

19 என்ற எண் 91 என்ற எண்ணின் தலைகீழ் அல்லது ரிவர்ஸ் ஆர்டரில் எழுதப்பட்ட வடிவம்.

இந்த எண்ணுக்கு ஹார்டி இராமானுஜம் எண் என்ற பெயர் எப்படி வந்தது என்று பார்க்கலாமா?

ஒரு தடவை இந்தியக் கணித மேதை இராமானுஜம், புட்னி என்ற இடத்தில் மருத்துவமனையில் இருந்தார். நோய்வாய்ப்பட்டு சிகிச்சை பெற்றுக் கொண்டிருந்தார் அங்கு. அப்போது அவரைச் சந்திக்க கணித மேதை ஜி. ஹெச். ஹார்டி போயிருந்தார். நண்பரைப் பார்த்துப் பேசிக் கொண்டிருந்த ஹார்டி,

“நான் வந்த டாக்ஸி எண் 1729. ரொம்ப டல்லான எண். எனக்கு அந்த எண்ணைப் பிடிக்கவில்லை ” என்று சொன்னார்.

அப்போது இராமானுஜம் சிரித்துக் கொண்டே, “இல்லையே, இது ரொம்ப சிறப்பான எண்”, என்று சொல்லி விட்டு அந்த எண்ணின் சிறப்பையும், தனித்துவத்தையும் மேலே கொடுத்திருக்கும் வகையில் விளக்கிய போது ஹார்டி அசந்து போனாராம்.

இராமானுஜத்தின் கணித அறிவைக் கண்டு ஹார்டி வியந்து போனதாக, இராமானுஜம் பற்றிய குறிப்புகளில் எழுதப் பட்டிருக்கிறது. அதிலிருந்து இந்த எண்ணை, ஹார்டி இராமானுஜம் எண் என்று அழைக்கிறார்கள்.

“இது போன்று இன்னும் கணக்கில்லாத சுவாரஸ்யங்கள் கணிதத்தில் கொட்டிக் கிடக்கின்றன. அவை பற்றியும், நமது இந்தியாவிற்குப் பெருமை சேர்த்த கணித மேதை இராமானுஜம் பற்றியும் அடுத்தடுத்து சந்திக்கும் போது உங்களுக்குச் சொல்லறேன். இப்பப் போய் விளையாடுங்க, அப்புறம் சாப்பிட வாங்க. நான் கிச்சனுக்குப் போய் உங்களுக்காக ஏதாவது ஸ்நாக்ஸ் ரெடி பண்றேன்”, என்று சொல்லி விட்டுச் சமையலறைக்குள் நுழைந்தாள் சகுந்தலா.

புவனா சந்திரசேகரன்

வங்கி வேலை, கணித ஆசிரியை அவதாரங்களுக்குப் பிறகு இப்போது எழுத்தாளர். அதுவும் சிறுவர் கதைகள் எழுத மனதிற்குப் பிடிக்கிறது. மாயாஜாலங்கள், மந்திரவாதி கதைகள் எழுத ஆசை. பூஞ்சிட்டு இதழ் மூலமாக உங்களுடன் உரையாடத் தொடர்ந்து வரப் போகிறேன். மகிழ்ச்சியுடன் நன்றி.